tugas sekolah: TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Turunan dari suatu fungsi trigonometri merupakan fungsi trigonometri yang berbeda. Berikut disajikan tabel fungsi awal dan turunan fungsi trigonometri yang dijadikan sebagai acuan dasar.

Fungsi Awal	Turunan Fungsi
f(x) = sin x	f '(x) = cos x
f(x) = cos x	f '(x) = -sin x
f(x) = cosec x	f '(x) = -cosec x. cotan x
f(x) = sec x	f '(x) = sec x. tan x
f(x) = tan x	f '(x) =sec² x
f(x) = cotan x	f '(x) = -cosec² x

Pembuktian turunan Fungsi trigonometri sinus Jika f(x) = sinx ⇒ f’(x) = cosx [Pembuktian] Dengan menggunakan pendekatan limit fungsi atau rumus umum turunan, turunan fungsi sinus dapat dibuktikan, yaitu:	Pembuktian Turunan fungsi trigonometri cosinus Jika f(x) = cosx ⇒ f’(x) = - sin x [Pembuktian] Sama seperti pembuktian turunan sinus pembuktian menggunakan pendekatan limit fungsi atau rumus umum turunan , seperti dibawah ini:
Pembuktian Turunan fungsi trigonometri tangen Jika , [Pembuktian] Pembuktian turunan fungsi tangen dapat menggunakan rumus turunan fungsi hasil bagi . Maka,	Turunan Fungsi trigonometri Cosecan Jika f(x) = cosec x , maka f'(x) = - cot x . cosec x [Pembuktian] Misalkan diketahui fungsi cosecan f(x) = cosec x, pembuktian rumus turunannya sebagai berikut:
Turunan Fungsi Secan Jika f(x) = sec x, maka f'(x) = tan x . sec x [Pembuktian]	Turunan Fungsi Trigonometri Cotangen Jika f(x) = cot x, maka, [Pembuktian]

Tentukan turunan fungsi trigonometri dari fungsi-fungsi dibawah ini!

1. f(x) = sin x cos x

[Penyelesaian]

Gunakan rumus turunan fungsi hasil kali,

[Penyelesaian]

Gunakan rumus turunan fungsi hasil bagi,

3. f(x) = 2 sin x – 5 cos x

[Penyelesaian]

f(x) = 2 sin x – 5 cos x

f’(x) = 2cos x + 5sin x

[Penyelesaian]

Soal No 4 ini merupakan gabungan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, kalau lupa silahkan dilihat lagi turunan fungsi aljabar,

5. Turunan dari f(x) = sin (5x – 2)

[Penyelesaian]

f(x) = sin (5x – 2)

f’ (x) = 5 cos (5x – 2 )

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA

1. Gradien garis singgung

Perhatikan gambar di samping

Gradien garis AB adalah

y=f(x)

Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x₁,y₁) adalah

Contoh :

Diketahui y=cos 2x

Tentukan persamaan garis singgung di x=30⁰

Jawab:

y=cos 2x

x= 30 => y= cos 60⁰ =

titik (x,y) = (30⁰,

)

m =y’

= 2(-sin2x)

= -2 (sin 60⁰)

= -2

= -√3

Persamaan garis singgung

y-y = m (x-x )

y -

= -√3 (x-30⁰)

y =

- √3 (x-30⁰)

DALIL l’HOSPITAL

Jika

maka diturunkan

maka diturunkan lagi hingga

Contoh

Tentukan limit fungsi berikut.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%200%7D=%5Cfrac%7Bcos%5C:%204x-1%7D%7Bx%5C:%20sinx%7D$

Jawaban :

substitusi langsung limit fungsi turunan kedua

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

f(x₂)

f(x₁)

1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1

dan x₂dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

x₂> x₁

f(x₂) > f(x₁) (gb. 1)

2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

x₂> x₁

f(x₂) < f(x₁) (gb. 2)

3. Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0

4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’ (a) < 0

NILAI STASIONER

Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping

Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.