TURUNAN FUNGSI ALJABAR

KONSEP TURUNAN

Untuk memahami konsep dasar turunan, tinjaulah dua masalah yang kelihatannya berbeda. Masalah pertama adalah masalah garis singgung, sedangkan masalah kedua adalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanika terlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

1. Garis Singgung

                 

Amati Gambar 1.

Gambar 1. Grafik persamaan garis singgung.

Misalkan A adalah suatu titik tetap pada grafik y = f(x) dan B adalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang grafik y = f(x). Misalkan, titik A berkoordinat (a, f(a)) maka titik B berkoordinat (a + Δx, f(a + Δx)). Garis yang melalui A dan B mempunyai gradien (kemiringan)  . Garis ini memotong grafik di dua titik A dan B yang berbeda.

Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f(x) mendekati titik A maka nilai Δx semakin kecil. Jika nilai Δx mendekati nol maka titik B akan berimpit dengan titik A. Akibatnya, garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalah garis yang melalui A(a, f(a)) dengan gradien :

 ...(1)

Contoh Soal :

Tentukan gradien garis singgung pada kurva f(x) = x² di titik dengan absis 2

Jawab :

Jadi, gradien garis singgung kurva f(x) = x² di titik dengan absis x = 2 adalah m = 4.

2. Kecepatan Sesaat

definisi kecepatan sesaat v di x = a, yaitu

Contoh Soal:

Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah x detik memenuhi persamaan f (x) = 6x³ + x² , dengan f(x) dinyatakan dalam meter.

a. Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu 2 ≤ x ≤ 3.

b. Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?

Pembahasan :

a. 

Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.

b.

Jadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik.

3. Turunan Fungsi di x = a

Jika fungsi y = f(x) terdefinisi di sekitar x = a maka :

Jika  ada maka nilainya disebut turunan fungsi f(x) di x = a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsi turunan yang dilambangkan dengan f ‘(x). Untuk menyatakan turunan di x = a dinyatakan dengan f ‘(a). Jadi,

Contoh Soal:

1.      Gunakan konsep limit untuk menyelesaikan soal berikut ini. Jika f (x) = x² – x , tentukan f'(5).

               

Jawaban :

2.      Panjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya. Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.

Jawaban :

Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = 3 × l = 3l dan luas = L = p × l = 3l . l = 3l².

Jadi, L = f (l) = 3l².

Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalah L ‘(5).

4. Mengenal Notasi Leibnitz

Anda telah mempelajari bahwa turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan f '(x). Nilai Δx menyatakan perubahan nilai x, yaitu Δx = x² – x1. Adapun perubahan f(x + Δx) – f(x) menyatakan perubahan nilai fungsi f(x) dinotasikan dengan Δf. Selanjutnya, bentuk limit tersebut dapat dituliskan menjadi :

.

Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan fungsi, yaitu df/dx . Diketahui fungsi :

y = f(x)    ....(1)

sehingga turunan fungsi (1) dapat dituliskan menjadi :

                                               

Notasi tersebut diperkenalkan oleh seorang ahli matematika Jerman, yaitu Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646–1716) sehingga dinamakan notasi Leibnitz, tepatnya notasi Double d Leibnitz.

Contoh Soal :

Misalkan f(x) = x³ , tentukanlah :

a. df / dx

b. nilai x sehingga df / dx = 12

Penyelesaian :

a.

b. df / dx = 3x² maka 3x² = 12 ↔ x = ± 2.

Jadi, nilai x yang memenuhi df / dx = 12 adalah x = ± 2.

CARA MENENTUKAN TURUNAN FUNGSI

1. Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axⁿ

Contoh Soal :

Tentukan df/dx untuk fungsi-fungsi berikut.

a. f (x) = ½ x²

b. g (x) = 

Jawaban :

b. Menentukan Turunan Fungsi f(x) = k dengan k= konstanta

                                           

3.Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) + v(x), dalam hal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real. Dengan demikian,

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum turunan fungsi y = u ± v? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep turunan fungsi y = u ± v yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas kesimpulan berikut.

Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku y ' = f '(a) = u'(a) + v'(a) ; untuk y = u + v maka y' = u' + v'

                

Contoh Soal:

Tentukan turunan fungsi berikut. f (x) = x³ – 3x²

Jawaban :

 f(x) = x³ – 3x² maka f '(x) = 3x² – 6x

                                                               

4. Turunan Fungsi y = c . u  

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = c . u(x), dalam hal ini c konstanta dan u(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real sehingga :

                          

Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga untuk y = f(a) = c . u(a) berlaku f '(a) = c . u'(a). Akibatnya, dari y = cu berlaku y' = c . u'.

Contoh Soal:

Tentukan turunan f(x) = 3x²

Jawaban :

f(x) = 3x² maka f '(x) = 6x

5. Turunan Fungsi y = uv

                              

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) = u(x) · v(x), dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan di x = a, untuk a bilangan real. Oleh karena itu :

Oleh karena itu, jika y = f(x) = u(x) · v(x) dengan a bilangan real sebarang berlaku f '(a) = u(a) · v'(a) + v(a) · u'(a). Untuk y = u · v, maka y' = uv' + vu'.

Contoh Soal UMPTN 1999

Turunan dari y = (1 – x)²(2x + 3) adalah ....

Jawaban :

Misalkan, u = (1 – x)² maka

u ‘ = 2(1 – x)(–1) = –2(1 – x).

Misalkan, v = (2x + 3) → v ‘ = 2

y = uv

y ‘= u’v + uv’

= –2(1 – x)(2x + 3) + (1 – x)²(2)

= 2(1 – x)[(–2x – 3) + (1 – x)]

= 2(1 – x)(–3x – 2)

= 2(1 – x)(–1)(3x + 2)

= 2(x – 1)(3x + 2).

6. Turunan Fungsi y = uⁿ

Diketahui y = f(u) dengan f(u) = uⁿ dan u = g(x). Jika fungsi u = g(x) dapat diturunkan di x = a, untuk a bilangan real maka :

Oleh karena a bilangan real sebarang maka :

                              

Dengan cara yang sama, dapatkah Anda memperoleh :

Untuk Δx mendekati nol maka Δu mendekati nol sehingga :

f(u) = un, f '(u) =nu^{n – 1} sehingga y'(x) = nu^{n – 1} u'(x).

Untuk y = un , maka y' = nu^{n – 1} u'(x).

Contoh Soal :

Tentukan turunan  f(x) = (2 + 3x²)⁹

Jawab :

(x) = (2 + 3x²)⁹

Misalkan, u = 2 + 3x² maka u’(x) = 6x sehingga f (x)= u⁹

f ‘(x) = 9u⁸ . u’(x) = 9(2 + 3x²)⁸ .6x = 54x(2 + 3x²)⁸

8. Turunan Fungsi y = u/v

Diketahui, fungsi y = f(x) dengan f(x) =  , dalam hal ini u(x) dan v(x) fungsi yang dapat diturunkan di x = a untuk a bilangan real maka :

Oleh karena itu, jika y = f(x) =  dengan a sebarang bilangan

real sehingga berlaku f '(a) = 

maka f '(x) = 

Untuk y = u/v , berlaku y' = 

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA

                                                               

1.    Gradien garis singgung

			Perhatikan gambar di samping Gradien garis AB adalah m =         =         =
	y=f(x)

 

                                                                                

Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient

           

 

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x₁,y₁) adalah

 

           

Contoh :

Diketahui kurva y = x² – 3x + 4 dan titik A (3,4)

1. Tentukan gradient garis singgung di titik A.
2. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.

Jawab:

y = x² – 3x + 4

y’ = 2x – 3

1. Gradien di titik A (3,4)

m = y’_x=3 = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3

      b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4)

          y – y₁ = m (x – x₁)

          y – 4   = 3  (x – 3  )

          y – 4   = 3x – 9

                y   = 3x – 5

TEOREMA L’HOPITAL

Jika x = a disubstitusikan ke bentuk  diperoleh bentuk tak tentu  atau  , Anda dapat menggunakan teorema L' Hopital. Teorema ini dikemukakan kali pertama oleh Marquis L' Hopital, seorang matematikawan Prancis (1661–1704 M).

Definisi Soal 28 :

Jika  f (x) = 0,  g (x) = 0, serta  ada, baik terhingga atau tak hingga maka  :


Perluasan teorema L'Hopital adalah :
(Proses berakhir jika hasil akhir tidak berbentuk ).

Contoh Soal: Tentukan limit fungsi berikut.

 

Jawaban :

APLIKASI TURUNAN

1.Fungsi Naik dan Fungsi Turun

y

                                                                                                                          

y

           

f(x1)

           

				f(x2)
		f(x1)

 

0

1.  Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1

     dan x₂ dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

    

             x₂  >  x₁     f(x₂) > f(x₁)            (gb. 1)

                          

2.      Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2  dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku :

             x₂  >  x₁     f(x₂) < f(x₁)            (gb. 2)

3.      Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0

4.      Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’ (a) < 0

Contoh

Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x³ + 9x² + 15x + 4 merupakan :

1. Fungsi naik
2. Fungsi turun

Jawab:

f(x) = x³ + 9x² + 15x + 4

Syarat fungsi turun f’(x) < 0             3x2 + 18x + 15 < 0             x2 + 6x + 5 < 0             (x+1) (x+5) < 0             Harga batas             x = -1   ,  x  =  -5        Jadi fungsi naik pada interval                  -5 < x  < -1

f’(x) = 3x² + 18x + 15

1. Syarat fungsi naik

f’(x) > 0

            3x² + 18x + 15 > 0

            x² + 6x + 5 > 0

            (x+1) (x+5) > 0

            Harga batas

            x = -1   ,  x  =  -5

	-5		-1

 

       Jadi fungsi naik pada interval

             x < 5 atau x > -1  

2. NILAI STASIONER

			Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.

 

Jenis – jenis nilai stasioner

+

+

1. Nilai stasioner di titik A.

0

    Pada :  x < a diperoleh f’(x) > a

a

                x = a diperoleh f’(x) = a

                x > a diperoleh f’(x) < a

                     

    Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai

    stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.

2. Nilai stasioner di titik B dan D.

-

-

0

a.  Pada  :  x < b diperoleh f’(x) < 0

b

                  x = b diperoleh f’(x) = 0

                  x > b diperoleh f’(x) < 0

 

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok.

   b. Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0

+

+

0

                  x = d diperoleh f’ (x) = d

                  x > d diperoleh f’ (x) > d

 

       fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d))

       disebut titik belok

Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok.

3. Nilai stasioner di titik E

0

+

-

    Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0

               x = e diperoleh f’(x) = 0

e

               x > e diperoleh f’(x) > 0

 

  Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e))

  disebut titik balik minimum.

Contoh :

Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x² + 2x

Jawab : f(x) = x² + 2x

             f’(x) = 2x + 2

                     = 2(x + 1)

Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0

             2(x + 1) = 0

                       x  = -1                                 

f(-1) = (-1)² + 2(-1) = -1

Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)

	x = 1
X 2 ( x + 1 ) f’(x)	-1-                  -1                 -1+     -                     0                  +     -                    0                   +
Bentuk grafik	Titik balik minimum

3.MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

                     

Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langkah sebagai berikut :

1. Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0.
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0.
3. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya.
4. tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative.

Contoh :

Diketahui persamaan y = f(x) = 3x – x³, tentukan :

1. Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y.
2. Nilai stasioner dan titik stasioner.
3. Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative.
4. Titik Bantu

Jawab:

1. i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0.

Y = 0 = 3x – x³

↔ 0 = x (3 – x²)

↔ 0 = x ( - x ) ( + x)

Titik potong sumbu x adalah (0,0), (,0), (-,0)

             ii. memotong sumbu y, jika x = 0

                 y = 3x – x³

                 y = 3.0 - 0³

                 y = 0

                 titik potong sumbu y adalah (0,0)

2. Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0

 f’ (x) = 3 – 3x²

↔ 3 (1 - x ²)

↔ 3 (1 – x) (1 + x)

x = 1,  x = -1

untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)³ = 2

          x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)³ = -2

nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2

titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2)

3. y = 3x – x² , untuk nilai x besar maka bilangan 3 dapat diabaikan terhadap x, sehingga y = -x³. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x besar negative maka y besar positif.

4. y

   Titik Bantu

 

           x     -2     2       -3      3      …

               

1

-2        -1        0           1         2

,                y      2      -2      18    -18    …

			-√3